martes, 29 de julio de 2014

Casos de Factorización

1) Factorar un Monomio:

En este busca los factores en los que se puede descomponer el término

15ab = 3 * 5 a b

2) Factor Común Monomio:

En este caso busca algún factor que se repita en ambos términos

Como puedes ver la literal (a) esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común

a² + 2a = a (a + 2)

3) Factor Común Polinomio:

En este caso en ambos términos tu factor que se repite es
(a + b), entonces lo puedes escribir de como el factor del otro binomio

x (a + b) + m (a + b) = (x + m) ( a + b)

4) Factor Común por Agrupación de Términos:

ax + bx + ay + by =

[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) =

(x + y)(a + b)

5) Trinomio Cuadrado Perfecto m² + 2m + 1

Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:

El Cuadrado del 1er Termino + 2 Veces el 1ro por el 2do + el Cuadrado del 2do

a² + 2ab + b² = (a + b)² TCP

Factorar: m² +2m +1 Checa la regla anterior si cumple será un TCP

m² +2m +1 = (m + 1)² TCP si cumple

6) Diferencia de Cuadrados: a² - b²

De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados

a² - b² = (a - b) (a + b)

4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)

7) Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:

Factorar (a + b)² - c²

(a + b)² - c² =

[(a + b) + c] [(a + b) - c] =

(a + b + c) (a + b – c)

8) Trinomio de la Forma; x² + bx + c

Factorar x² + 7x + 12

Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12

Entonces los acomodas como factores de la ecuación cuadrática

(x + 4)(x + 3) que seria los mismo despejando a x:

x = - 4
x = - 3

9) Trinomio de la Forma; ax² + bx + c

Factorar 6x² - x - 2

Mira:

1ro) multiplica los términos de los extremos de tu trinomio (6x²) (-2) = -12x²

2do) Basándote en el coeficiente del segundo termino (-x) = -1 y en el resultado del 1er paso, vamos a buscar 2 numero que sumados me den (-1) y multiplicados me den (-12x²)

3ro) esos números son (-4x) y (3x), sumados, me dan (-1) y multiplicados me dan (-12x²)

4to) ahora acomoda dentro de un paréntesis el 1er termino de tu trinomio con el 1er factor encontrado (-4), (6x² - 4x)

5to) acomoda el 2do factor encontrado (-3x) con el 3er termino de tu trinomio (-2); (3x-2)

6to) acomoda los 2 términos nuevos (6x² - 4x) + (3x-2), encuentra algún termino común en cada uno

2x (3x - 2) + 1(3x-2), los términos comunes ponlos en otro paréntesis y elimina un termino de los 2 que tienes (3x-2),

Este será tu Factorización (2x+1)(3x-2),

10) Suma o Diferencia de Cubos: a³ + b³

Suma de Cubos:
a³ + b³ = (a + b) (a² - 2ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos

El cuadrado del 1er termino, - el doble del producto de los 2 términos + el cuadrado del 2do termino

Diferencia de Cubos:

a³ - b³ = (a - b) (a² + 2ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la resta de las raíces de ambos términos

El cuadrado del 1er termino, + el doble del producto de los 2 términos + el cuadrado del 2do termino

FACTORIZACIÓN

Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos:

Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.

Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.

Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos.

La parte numérica de un término se denomina coeficiente.

Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, – 1, y 3.

Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.

Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.

En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax³ + bx² + cx, el polinomio es de tercer grado.

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.

Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica.

Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir, de la forma ax² + bx + c = 0.

Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.

Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a³

Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias.

martes, 8 de julio de 2014

VENTAS: Es el producto de la cantidad vendida por el valor de cada unidad. VENTAS = PRECIO x CANTIDAD

COSTOS: Es la suma del costo fijo (alquiler del local) y del costo variable. COSTOS = COSTO FIJO + COSTO MARGINAL x CANTIDAD. El costo marginal es el costo de cada unidad extra que se fabrica.

En resumen: BENEFICIO = PRECIO X CANTIDAD - (COSTO FIJO + COSTO MARGINAL X CANTIDAD )

Resolución del ejercicio:

BENEFICIO = PRECIO X CANTIDAD - (COSTO FIJO + COSTO MARGINAL X CANTIDAD )

BENEFICIO = 25 X CANTIDAD - ( 1200 + 15 X CANTIDAD )

Para que quede un poco mas sencillo, a la cantidad la podemos llamar q.

BENEFICIO = 25 X q- ( 1200 + 15 X q )

El ejercicio solicita el nivel de ingreso, o sea el beneficio, para a) 200, b) 300 o c) 100 unidades. Entonces sólo falta sustituir en esta expresión el valor de "q" y hacer las operaciones. Cuidado que los signos de "+" y "-" separan términos. Primero hay que multiplicar por "15" y luego sumarle "1200".

BENEFICIO (a) = 25 x 200 - (1200 + 15 x 200 )

Matemática financiera

La Matemática financiera se puede dividir en dos grandes bloques de operaciones financieras que se dividen en operaciones simples, con un solo capital, y complejas, las denominadas rentas, que involucran corrientes de pagos como es el caso de las cuotas de un préstamo.

Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. La ley financiera que se aplique puede ser mediante un régimen de interés simple cuando los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro. Los intereses se calculan sobre el capital original.

Si se trabaja en un régimen de capitalización compuesta los intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital original y generan, a su vez, intereses en el futuro (los intereses se capitalizan). Según el sentido en el que se aplica la ley financiera existen operaciones de capitalización: cuando se sustituye un capital presente por otro capital futuro y de actualización o de descuento: cuando se sustituye un capital futuro por otro capital presente.

martes, 11 de marzo de 2014

Radicación Algebraica "imagen"

domingo, 9 de marzo de 2014

Radicación

Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.

$\sqrt[n]{a}$ = $\ a^{1/n}$ .

Ejemplo

$\sqrt[4]{x^3}$ = $\ x^{3/4}$ .

lunes, 17 de febrero de 2014

Raiz Cubica de polinomios

Procedimiento

Para sacar raíz cúbica a un polinomio, se procede de la siguiente manera:

1. Se ordena el polinomio

2. Se extrae la raíz cúbica del primer término del polinomio, ésta será el primer término de la raíz

3. Se eleva al cubo la raíz hallada en el paso anterior y se resta del polinomio

4. Se bajan los tres términos siguientes del polinomio

5. Se divide el primero de los términos, bajados en el paso anterior, por el triplo del cuadrado del término que ya tenemos en la raíz: el cociente es el segundo término de la raíz

6. Se forman tres productos: (i) Triplo del cuadrado del primer término de la raíz por el segundo término de la raíz. (ii) Triplo del primer término de la raíz por el cuadrado del segundo término. (iii) Cubo del segundo término de la raíz

7. Se forma un trinomio con la suma de los productos hallados en el paso anterior y se resta de los tres términos que se han bajado

8. Se bajan los siguientes tres términos del polinomio

9. Se divide el primer término del residuo por el triplo del cuadrado del primer término de la parte hallada de la raíz: el cociente es el tercer término de la raíz

10. Se forman tres productos: (i) Triplo del cuadrado del binomio que forman los dos primeros términos de la raíz por el tercer término de la raíz. (ii) Triplo del binomio que forman los dos primeros términos de la raíz por el cuadrado del tercer término. (iii) Cubo del tercer término de la raíz

11. Se forma un polinomio con la suma de los productos hallados en el paso anterior y se resta del polinomio formado por el último resto y los últimos tres términos que se bajaron

12. Se bajan los siguientes tres términos del polinomio

13. Se divide el primer término del residuo por el triplo del cuadrado del primer término de la parte hallada de la raíz: el cociente es el cuarto término de la raíz

14. Se forman tres productos: (i) Triplo del cuadrado del trinomio que forman los tres primeros términos de la raíz por el cuarto término de la raíz. (ii) Triplo del trinomio que forman los tres primeros términos de la raíz por el cuadrado del cuarto término. (iii) Cubo del tercer término de la raíz

15. Se forma un polinomio con la suma de los productos hallados en el paso anterior y se resta del polinomio formado por el último resto y los últimos tres términos que se bajaron

16. Se continua de forma similar el proceso hasta que se hayan bajado todos los términos del polinomio y el último residuo, por supuesto, sea cero (los polinomios enunciados tienen raíz cúbica exacta).

Raiz cuadrada de polinomios

Procedimiento

1. Se ordena el polinomio (radicando) en forma descendente con respecto a una letra

2. Se halla la raíz cuadrada del primer término del radicando. Ésta será el primer término de la raíz.

3. Se eleva al cuadrado el término hallado en el paso anterior, y el resultado se resta del primer término del radicando

4. Se bajan los dos siguientes términos del radicando y se divide el primero de éllos por el duplo del primer término de la raíz.

5. El cociente anterior es el segundo término de la raíz.

6. El segundo término de la raíz se escribe junto al duplo del primer término de la raíz; este binomio así formado se multiplica por el segundo término.

7. El producto hallado en el paso anterior se resta de los dos términos que bajamos en el paso 4

8. Se bajan los términos necesarios para tener tres términos. Se duplica la parte de raíz ya hallada y se divide el primer término del residuo entre el primero de este duplo. El cociente es el tercer término de la raíz.

9. El tercer término de la raíz hallado en 8, se escribe al lado del duplo de la raíz hallada hasta el momento para formar un trinomio; este trinomio se multiplica por por el tercer término de la raíz y el producto se resta del residuo.

10. Se continua el procedimiento anterior, dividiendo siempre el primer término del residuo entre el primer término del duplo de la raíz hallada, hasta obtener residuo cero.

Nota: el procedimiento es esencialmente el mismo para cualquier polinomio que tenga raíz cuadrada exacta, aunque puede variar ligeramente dependiendo del polinomio; por ejemplo cuando faltan términos, esto es, cuando al ordenar el polinomio no existe un término para determinado exponente ...

Raiz cuadrada de polinomios con terminos fraccionarios